Особливості шифрування блокових даних двоваріантними поліноміальними матрицями Фібоначчі
Анотація
Показана можливість вирішення проблеми генерування ключів для шифрування блокових даних у вигляді n-ої послідовності двоваріантних поліноміальних матриць Фібоначчі m-го порядку, елементами яких є двоваріантні поліноми Фібоначчі не більше (n–1)-го степеня. Отримані матриці Фібоначчі дають змогу знаходити як їхні визначники, так і обернені матриці, придатні для матричного шифрування блокових даних. З'ясовано, що навіть за останнє десятиліття надруковано значну кількість публікацій, в кожній з яких обґрунтовано різні підходи як до генерування послідовностей двоваріантних поліноміальних матриць Фібоначчі, так і доведено доцільність їх використання для шифрування блокових даних. Виявлено, що застосування таких матриць як окремої процедури для захисту блокових даних у теорії та практиці криптографії трапляється вкрай рідко. Розроблено метод генерування послідовності двоваріантних поліноміальних матриць Фібоначчі, який полягає у використанні рекурентного матричного співвідношення, згідно з яким наступну поліноміальну матрицю утворюють шляхом множення змінних x та y послідовно на елементи поточної попередньої матриць відповідно, поелементного додавання утворених матриць та групування схожих доданків у елементах наступної матриці. Наведено механізми утворення послідовності з n=6-ти двоваріантних поліноміальних матриць Фібоначчі від 2-го до 4-го порядків, елементами яких стали двоваріантні поліноми Фібоначчі від (n–3)-го до (n–1)-го степеня, що дало змогу проаналізувати не тільки особливості їхньої побудови, але й усвідомити процедури знаходження їх визначників і обернених матриць. Розроблено ПЗ, яке дає змогу генерувати як послідовності двоваріантних поліноміальних матриць Фібоначчі m-го порядку, так і знаходити їхні визначники та обернені поліноміальні матриці аналогічного порядку. Наведено приклад застосування матричного методу шифрування блокових даних двоваріантною поліноміальною матрицею Фібоначчі, що дає змогу зацікавленому читачу зрозуміти основний принцип шифрування як початкового повідомлення, так і розшифрування зашифрованого повідомлення.
Завантаження
Посилання
Asci, M., & Gurel, E. (2017). Some properties of k-order Gaussian Fibonacci and Lucas numbers. Ars Combinatoria, 135, 345–356. URI: https://hdl.handle.net/11499/23655
Asci, M., & Tasci, D. (2007). On Fibonacci, Lucas and special orthogonal polynomials. Journal of Computational and Applied Mathematics. https://doi.org/10.1016/J.CAM.2007.01.026
Basu, M., & Prasad, B. (2009). The Generalized relations among the code elements for Fibonacci coding theory. Chaos, Solitons and Fractals, Vol. 41, issue 5, 2517–2525. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2008.09.030
Basu, Manjusri, & Das, Monojit. (2017). Coding theory on generalized Fibonacci n-step polynomials. Journal of Information and Optimization Sciences, Vol. 38, issue 1, 83–131. https://doi.org/10.1080/02522667.2016.1160618
Basu, Manjusri, & Prasad, Bandhu. (2011). Coding theory on the (m,t)-extension of the Fibonacci p-numbers. Discrete Mathematics, Algorithms and Applications, Vol. 3, 259–267. https://doi.org/10.1142/S1793830911001097
Bednar, Urszula, & Wołowiec-Musiał, Małgorzata. (2020). Distance Fibonacci Polynomials. Symmetry 2020, 12(9), 1540 p. https://doi.org/10.3390/sym12091540
Bhatnagar, Shikha, & Sikhwal, Omprakash. (2016, October). Generalized Fibonacci Polynomials and its Propertie. SCIREA Journal of Mathematics, Vol. 1, issue 1, 161–174. URL: https://article.scirea.org/pdf/11021.pdf
Boughaba, Souhila, Boussayoud, Ali, & Boubellouta, Khadidja. (2019, September). Generating Functions of Modified Pell Numbers and Bivariate Complex Fibonacci Polynomials. Turkish Journal of Analysis and Number Theory, 7(4), 113–116. https://doi.org/10.12691/tjant-7-4-3
Catalani, M. (2004). Some formulae for Bivariate Fibonacci and Lucas polynomials. Arxiv: math/0406323. Combinatorics. https://doi.org/10.48550/arXiv.math/0406323
Chasnov, Jeffrey R. (2008). Fibonacci numbers and the golden ratio. The Hong Kong University of Science and Technology, 87 p. URL: https://www.math.hkust.edu.hk/~machas/fibonacci.pdf
Esmaeili, M., & Esmaeili, M. (2009). Polynomial Fibonacci-Hessenberg matrices. Chaos, Solitons and Fractals, Vol. 41, issue 5, 2820–2827. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2008.10.012
Esmaili, M., & Esmaeili, M. (2010). A Fibonacci-polynomial based coding method with error detection and correction. Computers and Mathematics with Applications, Vol. 60, issue 10, 2738–2752. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2010.08.091
Falcon, S., & Plaza, A. (2009). On k-Fibonacci sequences and polynomials and their derivatives. Chaos, Solitons and Fractals, Vol. 39, issue 3, 1005–1019. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2007.03.007
Filipponi, P., & Horadam, A. F. (1991). Derivative Sequences of Fibonacci and Lucas Polynomials. In: Bergum, G. E., Philippou, A. N., Horadam, A. F. (Eds). Applications of Fibonacci Numbers. Springer, Dordrecht, (pp. 99–108). https://doi.org/10.1007/978-94-011-3586-3_12
Fox, William P., & West, Richard D. (2024, September). Numerical Methods and Analysis with Mathematical Modelling (Textbooks in Mathematics). Chapman and Hall/CRC, 424 p. URL: https://www.amazon.com/Numerical-Mathematical-Modelling-Textbooks-Mathematics/dp/1032697237
Grytsiuk, P. Y., Sikora, L. S., & Hrytsiuk, Y. I. (2023). Problems of detecting and correcting errors in messages encoded by Fibonacci matrices. Scientific Bulletin of UNFU, 33(2), 45–58. https://doi.org/10.36930/40330407
Grytsiuk, Pavlo. (2025). Features of Generation Sequences of Refined Fibonacci Polynomial Matrices. Information Systems and Networks, Vol. 17, 343–365. https://doi.org/10.23939/sisn2025.17.343
Hoggat, V. E., Bicknell, Marjorie. (1973). Roots of fibonacci polynomials. The Fibonacci Quarterly, Vol. 11, issue 3, 271–274. https://doi.org/10.1080/00150517.1973.12430825
Hrytsiuk, Yu. I., & Grytsiuk, P. Yu. (2016). Features of generating Fibonacci Qp-matrices – keys for implementing cryptographic transformations. Bulletin of the National University "Lviv Polytechnic". Series: Computer Science and Information Technology, Vol. 843, 251–263. URL: https://vlp.com.ua/node/16094
Lee, G. Y., & Asci, M. (2012). Some Properties of the (p,q)-Fibonacci and (p,q)-Lucas Polynomials. Journal of Applied Mathematics, Vol. 2012, article ID 264842, 18 p. https://doi.org/10.1155/2012/264842
Nalli, A Ayse, & Haukkanen, Pentti. (2009, December). On generalized Fibonacci and Lucas polynomials. Chaos Solitons & Fractals, Vol. 42, issue 5, 3179–3186. https://doi.org/10.1016/J.CHAOS.2009.04.048
Özkan, Engin, Taştan, Merve & Aydoğdu, Ali. (2019). Fibonacci Sayılarının Ailesinde 3-Fibonacci Polinomları. Erzincan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi. Cilt: 12 Sayı: 2, 926–933. https://doi.org/10.18185/erzifbed.512100
Panwar, Yashwant K., & Singh, Mamta. (2017). Generalized Bivariate Fibonacci-Like Polynomials. International journal of pure mathematics, Vol. 1, 8–13. URL: https://www.academia.edu/125691436/Generalized_Bivariate_Fibonacci_Like_Polynomials
Perumali, Sundarayya, & Prasad, M. G. Vara. (2019, October). Coding theory on Pell-Lucas p-numbers. Journal of Physics Conference Series, 1344(1), article ID 012017. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1344/1/012017
Prasad, K., & Mahato, H. (2021). Cryptography using generalized Fibonacci matrices with Affine-Hill cipher. Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography, 25(8), 2341–2352. Corpus ID: 14098285. https://doi.org/10.1080/09720529.2020.1838744
Ramirez, J. L. (2013). On convolved generalized Fibonacci and Lucas polynomials. Applied Mathematics and Computation, 229, 208–213. https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.12.049
Saba, Nabiha, & Boussayoud, Ali. (2020, June). Complete homogeneous symmetric functions of Gauss Fibonacci polynomials and Bivariate Pell polynomials. Open Journal of Mathematical Sciences, 4(1), 179–185. https://doi.org/10.30538/oms2020.0108
Sikhwal, Omprakash, & Vyas, Yashwant. (2016, October). Generalized Fibonacci Polynomials and Some Fundamental Properties. SCIREA Journal of Mathematics, Vol, 1, issue 1, 16–23. URL: https://article.scirea.org/pdf/11002.pdf
Singh, B., Sikhwal, O., & Panwar, Y. K. (2009). Generalized Determinantal Identities Involving Lucas Polynomials. Applied Mathematical Sciences, 3(8), 377–388. URL: https://www.researchgate.net/publication/228526069_Generalized_Determinantal_Identities_Involving_Lucas_Polynomials
Tuglu, Naim, Kocer, E. Gokcen, & Stakhov, Alexey. (2011, August). Bivariate Fibonacci like p-polynomials. Applied Mathematics and Computation, Vol. 217, issue 24, 10239–10246. https://doi.org/10.1016/j.amc.2011.05.022
Uçar, S. (2017). On some properties of generalized Fibonacci and Lucas Polynomials. An International Journal of Optimization and Control: Theories & Applications (IJOCTA), 7(2), 216–224. https://doi.org/10.11121/IJOCTA.01.2017.00398
Urszula Bednar, & Małgorzata Wołowiec-Musiał. (2020). Distance Fibonacci Polynomials. Symmetry, 12(7), article ID 1540. https://doi.org/10.3390/sym12091540
Yakymenko, I., Karpinski, M., Shevchuk, R., & Kasianchuk, M. (2024, May). Symmetric Encryption Algorithms in a Polynomial Residue Number System. Journal of Applied Mathematics. https://doi.org/10.1155/2024/4894415
Yang, Jizhen, & Zhang, Zhizheng. (2018, December). Some identities of the generalized Fibonacci and Lucas sequences. Applied Mathematics and Computation, Vol. 339, 451–458. https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.07.054
Yilmaz, N. (2024). Some new results for the generalized Bivariate Fibonacci and Lucas polynomials. Mathematica Moravica, Vol. 28, Issue 1, 97–108. https://doi.org/10.5937/matmor2401097y
Yılmaz, N., & Aktaş, İ. (2023). Special transforms of the generalized bivariate Fibonacci and Lucas polynomials. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 52(3), 640–651. https://doi.org/10.15672/hujms.1110311
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
