Чисельне диференціювання періодичних таблично-заданих функцій з використанням многочлена Фур'є

Ключові слова: зашумлені дані, згладжування функцій, інтерполяція табличних функції, методи регуляризації, обчислення похідних

Анотація

Розроблено методологію чисельного диференціювання періодичних таблично-заданих функцій з використанням многочлена Фур'є n-го порядку, яка дає можливість обчислювати похідні k-го порядку (k £ n) в будь-яких точках між довільно розташованими вузлами інтерполяції. Проаналізовано останні дослідження та публікації, що дало змогу встановити складність задачі обчислення похідних від функції за значеннями аргумента на деякому інтервалі значень табличної функції. Наведено постановку задачі чисельного диференціювання періодичних таблично-заданих функцій з використанням многочлена Фур'є n-го порядку. Встановлено, що будь-яку таблично-задану функцію спочатку згладжують деякою функцією, котра є глобальним (локальним) інтерполяційним многочленом або многочленом, який отримано за МНК (англ. Ordinary Least Squares, OLS) з деякою похибкою. Під похідною від такої табличної функції розуміють похідну від її інтерполянти. Розроблено метод чисельного диференціювання періодичних таблично-заданих функцій, сутність якого зводиться до добутку вектора-рядка Фур'є n-го порядку на матрицю k-го порядку його диференціювання (k £ n) і на вектор-стовпець коефіцієнтів відповідної інтерполянти. Наведено деякі постановки задач чисельного диференціювання періодичних таблично-заданих функцій з використанням многочлена Фур'є n-го порядку, відповідні алгоритми їх розв'язання та конкретні приклади реалізації. Встановлено, що для обчислення похідної k-го порядку від табличної функції за прийнятим значенням аргумента потрібно виконати такі дії: за даними таблиці сформувати матричне рівняння та розв'язати його; підставити у відповідний матричний вираз отриманий корінь з матричного рівняння та значення аргумента і виконати вказані у виразі дії множення матриць. Здійснено перевірку правильності виконання розрахунків з використанням відповідних центральних різницевих формул. Встановлено, що обчислені похідні k-го порядку з використанням формул центральних скінченних різниць практично  збігаються зі значеннями, отриманими за допомогою інтерполяційного многочлена Фур'є n-го порядку, тобто значення похідних обчислено правильно.

Біографії авторів

Ю. І. Грицюк, Національний університет "Львівська політехніка", м. Львів

 д-р техн. наук, професор, кафедра програмного забезпечення

В. І. Гавриш, Національний університет "Львівська політехніка", м. Львів

д-р техн. наук, професор, кафедра програмного забезпечення

Посилання

Abinash Nayak. (2020). A new regularization approach for numerical differentiation. Inverse Problems in Science and Engineering, 28(13), 1747-1772. https://doi.org/10.1080/17415977.2020.1763983

Andrei D. Polyanin, & Alexander V. Manzhirov. (1998). Handbook of Integral Equations: Second Edition (Handbooks of Mathematical Equations). CRC Press, Boca Raton, 1142 p. Retrieved from: https://www.amazon.com/Handbook-Integral-Equations-Handbooks-Mathematical/dp/1584885076

Andrunyk, V. A., Vysotska, V. A., & Pasichnyk V. V. (Ed.), et al. (2018). Numerical methods in computer science: textbook. Issue 2. Lviv: Novy svit-2000, 536 p. [In Ukrainian].

Bang Hu, & Shuai Lu. (2012). Numerical differentiation by a Tikhonov regularization method based on the discrete cosine transform. Applicable Analysis, 91(1), 719–736. https://doi.org/10.1080/00036811.2011.598862

Ben Adcock, Daan Huybrechs, & Jesús Martín-Vaquero. (2014). On the Numerical Stability of Fourier Extensions. Foundations of Computational Mathematics, 14, 635–687. https://doi.org/10.1007/s10208-013-9158-8

Binbin Yin, & Yuzhang Ye. (2006). Recovering the local volatility in Black–Scholes model by numerical differentiation. Applicable Analysis, 85(6–7), 681–692. https://doi.org/10.1080/00036810500475025

Cheng, J., Jia, X. Z., & Wang, Y. B. (2007). Numerical differentiation and its applications. Inverse Problems in Science and Engineering, 15(1), 339-357. https://doi.org/10.1080/17415970600839093

Chu-Li Fu, Xiao-Li Feng, Zhi Qian. (2010). Wavelets and high order numerical differentiation. Applied Mathematical Modelling, 34(11), 3008–3021. https://doi.org/10.1016/j.apm.2010.01.009

Daan Huybrechs. (2010). On the Fourier Extension of Nonperiodic Functions. SIAM Journal on Numerical Analysis, 47(6). https://doi.org/10.1137/090752456

Diego A. Murio. (1993). The Mollification Method and Numerical Solution of Ill-posed Problems. New York: John Wiely & Sons, 254 p. https://doi.org/10.1002/9781118033210

Engl, H. W., Hanke, M., & Neubauer, A. (1996). Regularization of Inverse Problems. Mathematics and Its Applications, 375, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-009-1740-8

Evgeniya V. Semenova, Sergiy G., Solodky, & Serhii A., Stasyuk. (2022). Application of Fourier Truncation Method to Numerical Differentiation for Bivariate Functions. Computational Methods in Applied Mathematics, 22(2). https://doi.org/10.1515/cmam-2020-0138

Filts, R. V. (1994). Calculation of Taylor and Fourier polynomials and their derivatives. Synopsis of lectures on the subject "Mathematical problems of electromechanics" for students. special 1801 "Electromechanics". Lviv: State University "Lviv Polytechnic", 24 p. [In Ukrainian].

Filts, R. V., Kotsyuba, M. V., & Grytsyuk, Yu. I. (1991). Algorithm for computing the Taylor polynomial and its derivatives on a computer. Izvestia of universities. Electromechanics, 5, 5–10. [In Russian].

Hanke M, Scherzer O. (1998). Error analysis of an equation error method for the identification of the diffusion coefficient in a quasi-linear parabolic differential equation. SIAM Journal on Applied Mathematics, 59(3), 1012–1027. https://doi.org/10.1137/S0036139997331628

Hanke, M., & Scherzer, O. (2001). Inverse problems light: Numerical differentiation. American Mathematical Monthly, 108(6), 512–521. https://doi.org/10.2307/2695705

Herbert Egger, & Heinz W. Engl. (2005). Tikhonov regularization applied to the inverse problem of option pricing: convergence analysis and rates. Inverse Problems, 21(3), 1027–1045. https://doi.org/10.1088/0266-5611/21/3/014

Hrytsiuk, Yu. I. (2014). Computational methods and models in scientific research: monograph. Lviv: LSU BZD Publishing House. 288 p. [In Ukrainian].

Hrytsiuk, Yu. I., & Havrysh, V. I. (2022). Interpolation of table-given functions by Fourier polynomial. Scientific Bulletin of UNFU, 32(1), 88–102. https://doi.org/10.36930/40320414

Huilin Xu, & Jijun Liu. (2010). Stable numerical differentiation for the second order derivatives. Advances in Computational Mathematics, 33, 431–447. https://doi.org/10.1007/s10444-009-9132-9

Jane Cullum. (1971). Numerical differentiation and regularization. SIAM Journal on Numerical Analysis, 8(2), 254–265. https://doi.org/10.1137/0708026

John P. Boyd. (2002). A Comparison of Numerical Algorithms for Fourier Extension of the First, Second, and Third Kinds. Journal of Computational Physics, 178(1), 118-160. https://doi.org/10.1006/jcph.2002.7023

Krylyk, L. V., Bogach, I. V., & Lisovenko, A. I. (2019). Numerical Methods. Numerical integration of functions: tutorial. Vinnytsia: VNTU, 74 p. [In Ukrainian].

Krylyk, L. V., Bogach, I. V., & Prokopova, M. O. (2013). Computational mathematics. Interpolation and approximation of tabular data: tutorial. Vinnytsia: VNTU, 111 p. [In Ukrainian].

Leevan Ling. (2006). Finding Numerical Derivatives for Unstructured and Noisy Data by Multiscale Kernels. SIAM Journal on Numerical Analysis, 44(1). https://doi.org/10.1137/050630246

Lyon, M., Picard, J. (2014). The Fourier approximation of smooth but non-periodic functions from unevenly spaced data. Advances in Computational Mathematics, 40, 1073–1092. https://doi.org/10.1007/s10444-014-9342-7

Mamchuk, V. I. (2015). Numerical methods: tutorial. Kyiv: National Aviation University, 388 p. [In Ukrainian].

Markus Hegland, & Robert S. Anderssen. (2005). Resolution enhancement of spectra using differentiation. Inverse Problems, 21, 915. https://doi.org/10.1088/0266-5611/21/3/008

Martin Hanke, & Otmar Scherzer. (2001). Inverse problems light: Numerical differentiation. The American Mathematical Monthly, 108(6), 512–521. https://doi.org/10.1080/00029890.2001.11919778

Murio, D. A., Mejia, C. E., & Zhan, S. (1998). Discrete mollification and automatic numerical differentiation. Computers & Mathematics with Applications, 35(5), 1–13. https://doi.org/10.1016/S0898-1221(98)00001-7

Ovchinnikov, P. F. (Ed.), Lisitsyn, B. M., & Mikhailenko, V. M. (1989). Higher mathematics. Kyiv: High school, 679 p. Retrieved from: http://pdf.lib.vntu.edu.ua/books/2015/Ovchin_P2_2004_792.pdf

Qian, Z., Fu, C. L., Xiong, X. T., & Wei, T. (2006). Fourier truncation method for high order numerical derivatives. Applied Mathematics and Computation, 181(2), 940–948. https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.01.057

Ramm, A. G., & Smirnova, A. B. (2001). On stable numerical differentiation. Mathematics of Computation, 70, 1131–1153. https://doi.org/10.1090/S0025-5718-01-01307-2

Rodrigo B. Platte, Lloyd N. Trefethen, & Arno B. J. Kuijlaars. (2011). Impossibility of Fast Stable Approximation of Analytic Functions from Equispaced Samples. SIAM Review, 53(2), 308-318. Retrieved from: https://www. jstor.org /stable/23065166

Rudolf Gorenflo, & Sergio Vessella. (1991). Abel Integral Equations: Analysis and Applications. Lecture Notes in Mathematics, 1461. Berlin: Springer, 1991st Edition, 232 p. Retrieved from: https://www.amazon.com/Abel-Integral-Equations-Applications-Mathematics/dp/354053668X

Soyoung Ahn, U. JinChoi, & Alexander G. Ramm. (2006). A scheme for stable numerical differentiation. Journal of Computational and Applied Mathematics, 186(2), 325-334. https://doi.org/10.1016/j.cam.2005.02.002

Stanley R. Deans. (2007). The Radon Transform and Some of Its Applications (Dover Books on Mathematics). Dover Publications; Illustrated edition, 304 p. Retrieved from: https://www.amazon.com/Radon-Transform-Applications-Dover-Mathematics/dp/0486462412

Tsegelyk, H. G. (2004). Numerical methods: textbook for university students. Lviv National University named after Ivan Franko. Lviv, 407 p. [In Ukrainian].

Vasylyshyn, T. V., Goy, T. P., & Fedak, I. V. (2014). Integral equations: a study guide. Ivano-Frankivsk: Simyk, 222 p. Retrieved from: https://kmfa.pnu.edu.ua/wp-content/uploads/sites/64/2019/12/ Василишин-Т.В.-Гой-Т.П.-Федак-І.В.-Інтегральні-рівняння.pdf

Wan, X. Q., Wang, Y. B., & Yamamoto, M. (2006). Detection of irregular points by regularization in numerical differentiation and application to edge detection. Inverse Problems, 22(3), 1089. https://doi.org/10.1088/0266-5611/22/3/022

Wang, Y. B., & Wei, T. (2005). Numerical differentiation for two-dimensional scattered data. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 312(1), 121-137. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.03.025

Wang, Y. B., Jia, X. Z., & Cheng, J. (2002). A numerical differentiation method and its application to reconstruction of discontinuity. Inverse Problems, 18(6), 1461. https://doi.org/10.1088/0266-5611/18/6/301

Wei, T., & Hon, Y. C. (2007). Numerical differentiation by radial basis functions approximation. Advances in Computational Mathematics, 27(3), 247–272. https://doi.org/10.1007/s10444-005-9001-0

Wei, T., Hon, Y, C., & Wang, Y. B. (2005). Reconstruction of numerical derivatives from scattered noisy data. Inverse Problems, 21(2), 657–672. https://doi.org/10.1088/0266-5611/21/2/013

Weidong Chen. (2021). Regularized derivative interpolation for two dimensional band-limited functions. Signal Processing, 184, 107943. https://doi.org/10.1016/j.sigpro.2020.107943

Xie, O., Zhao Z. Y. (2013). Numerical differentiation of 2d functions by a mollification method based on Legendre expansion. International Journal of Computer Science Issues, 10(1), 729–734. Retrieved from: https://ijcsi.org/papers/IJCSI-10-1-2-729-734.pdf

Yang, Lu. (2008). A perturbation method for numerical differentiation. Applied mathematics and computation, 199(1), 368–374. https://doi.org/10.1016/j.amc.2007.09.066

Yong-Fu Zhang, & Chong-Jun Li. (2019). A class of multistep numerical difference schemes applied in inverse heat conduction problem with a control parameter. Inverse Problems in Science and Engineering, 27(7), 887–942. https://doi.org/10.1080/17415977.2018.1501370

Zehong Meng, Zhenyu Zhao, Duan Mei & Yongxiong Zhou. (2020). Numerical differentiation for two-dimensional functions by a Fourier extension method. Inverse Problems in Science and Engineering, 28(1). https://doi.org/10.1080/17415977.2019.1661410

Zewen Wang, & Rongsheng Wen (2010). Numerical differentiation for high orders by an integration method. Journal of Computational and Applied Mathematics, 234(3), 941-948. https://doi.org/10.1016/j.cam.2010.01.056

Zhenyu Zhao, & Zehong Meng. (2010). Numerical differentiation for periodic functions. Inverse Problems in Science and Engineering, 18(7), 957-969. https://doi.org/10.1080/17415977.2010.492517

Zhenyu Zhao, Zehong Meng, & Guoqiang He. (2009). A new approach to numerical differentiation. Journal of Computational and Applied Mathematics, 232(2), 227–239. https://doi.org/10.1016/j.cam.2009.06.001

Zhenyu Zhao, Zehong Meng, Li Xu, & Junfeng Liu. (2009). A New Mollification Method for Numerical Differentiation of 2D Periodic Functions. IEEE. International Joint Conference on Computational Sciences and Optimization, 24-26 April 2009, (pp. 205-207), Sanya, China. https://doi.org/10.1109/CSO.2009.174

Zhenyu Zhao. (2010). A truncated Legendre spectral method for solving numerical differentiation. International Journal of Computer Mathematics, 87(16), 3209–3217. https://doi.org/10.1080/00207160902974404

Zygmund, Antoni (Author), Fefferman, Robert A. (Ed.). (2002). Trigonometric series, I, II, Cambridge Mathematical Library (3rd ed.), Cambridge University Press, 784 p. Retrieved from: https://www.amazon.com/Trigonometric-Cambridge-Mathematical-Library-Zygmund/dp/0521890535

Zygmund, Antoni. (1935). Trigonometrical series (English). Monografie Matematyczne 5. Warszawa: Seminarium Matematyczne Uniwersytetu Warszawskiego; Warszawa: Instytut Matematyczny PAN. 331 s. Retrieved from: https://zbmath.org/?format=complete&q=an:0011.01703

Опубліковано
2022-11-02
Як цитувати
Грицюк, Ю. І., & Гавриш, В. І. (2022). Чисельне диференціювання періодичних таблично-заданих функцій з використанням многочлена Фур’є. Науковий вісник НЛТУ України, 32(5), 69-79. https://doi.org/10.36930/40320510
Розділ
Інформаційні технології

Статті цього автора (авторів), які найбільше читають

1 2 > >>