Методи генерування поліномів Фібоначчі та особливості їх використання для шифрування даних
Анотація
Розроблено методи генерування послідовностей поліномів Фібоначчі n-го степеня як основи шифрування потокових і блокових даних, що дає можливість ефективно передавати каналами зв'язку відповідні повідомлення різної величини. З'ясовано, що за останнє десятиліття надруковано значну кількість публікацій, в кожній з яких обґрунтовано різні підходи до генерування поліномів Фібоначчі та доведено доцільність їх використання для шифрування даних. Проте, більшість досліджень стосується окремих процедур захисту даних, що в теорії та практиці криптографії трапляються вкрай рідко. Встановлено основну складність проблеми генерування послідовностей поліномів Фібоначчі n-го степеня, які є основою шифрування потокових і блокових даних, що дасть можливість здійснювати ефективний їх захист. Наведено відомі способи подання чисел Фібоначчі та Люка, а також поліномів Фібоначчі, які можна застосувати у традиційному методі шифрування даних. Встановлено, що в послідовностях чисел Фібоначчі та Люка, де відношення двох послідовних доданків наближається до золотого перерізу, їхні члени є наближеннями цілих степенів золотого перерізу. Запропоновано метод матричного подання поліномів Фібоначчі та їх обернених еквівалентів, які можна застосувати у традиційному методі шифрування даних. Для цього необхідно перемножити спеціальну матрицю n-го порядку з відповідними коефіцієнтами на поліном n-го степеня, внаслідок чого отримаємо набір поліномів Фібоначчі Fn(x) відповідного степеня. Зазвичай, спеціальна матриця є нижньою трикутною матрицею, всі елементи головної діагоналі якої одиниці. Розроблено метод генерування поліноміальних матриць Фібоначчі n-го степеня та їх обернених матриць, елементами яких є поліноми Фібоначчі, які можна застосувати у традиційному методі шифрування даних. Оскільки поліноміальні оберненні матриці використовують для розшифрування даних, то їхнє генерування має мати загальний вигляд. Розроблено ПЗ, яке дає змогу генерувати поліноміальні матриці Фібоначчі n-го степеня та m-го поряду, а також їхні обернені поліноміальні матриці аналогічного степеня та поряду. За результатами виконаного дослідження зробити висновки та надано відповідні рекомендації щодо їх практичного використання як основи для шифрування потокових і блокових даних, що дасть змогу ефективно передавати каналами зв'язку відповідні повідомлення різної величини.
Завантаження
Посилання
Asci, M., & Gurel, E. (2017). Some properties of k-order Gaussian Fibonacci and Lucas numbers. Ars Combinatoria, 135, 345–356. URI: https://hdl.handle.net/11499/23655
Asci, M., & Tasci, D. (2007). On Fibonacci, Lucas and special orthogonal polynomials. Journal of Computational and Applied Mathematics. https://doi.org/10.1016/J.CAM.2007.01.026
Basu, M., & Prasad, B. (2009). The Generalized relations among the code elements for Fibonacci coding theory. Chaos, Solitons and Fractals, Vol. 41, issue 5, 2517–2525. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2008.09.030
Basu, M., & Prasad, B. (2011). Coding theory on the (m,t)-extension of the Fibonacci p-numbers. Discrete Mathematics, Algorithms and Applications, Vol. 3, 259–267. https://doi.org/10.1142/S1793830911001097
Basu, Manjusri, & Das, Monojit. (2017). Coding theory on generalized Fibonacci n-step polynomials. Journal of Information and Optimization Sciences, Vol. 38, issue 1, 83–131. https://doi.org/10.1080/02522667.2016.1160618
Basu, Manjusri, & Prasad, Bandhu. (2009). The generalized relations among the code elements for Fibonacci coding theory. Chaos, Solitons, & Fractals, Vol. 41, issue 5(14), 2517–2525. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2008.09.030
Basu, Manjusri, & Prasad, Bandhu. (2009, November). Coding theory on the m-extension of the Fibonacci p-numbers. Chaos, Solitons, & Fractals, Vol. 42, issue 4, 30, 2522–2530. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2009.03.197
Bellini, Emanuele, Marcolla, Chiara, & Murru, Nadir. (2020, March). On the decoding of 1-Fibonacci error correcting codes. Discrete Mathematics, Algorithms and Applications, Vol. 13, No. 05, article ID 2150056. https://doi.org/10.13140/RG.2.2.27280.97281; https://doi.org/10.1142/S1793830921500567
Chasnov, Jeffrey R. (2008). Fibonacci numbers and the golden ratio. The Hong Kong University of Science and Technology, 87 p. URL: https://www.math.hkust.edu.hk/~machas/fibonacci.pdf
Cristina Flaut, Diana Savin. (2017, April). Some remarks regarding generalized Fibonacci-Lucas numbers and generalized Fibonacci-Lucas quaternions. arXiv:1705.00361v2 [math.RA]. https://doi.org/10.48550/arXiv.1705.00361
Esmaeili, M., & Esmaeili, M. (2009). Polynomial Fibonacci-Hessenberg matrices. Chaos, Solitons and Fractals, Vol. 41, issue 5, 2820–2827. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2008.10.012
Esmaeili, M., & Esmaeili, M. (2010). A Fibonacci-polynomial based coding method with error detection and correction. Computers and Mathematics with Applications, 60, 2738–2752. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2010.08.091
Esmaeili, M., Esmaeili, M., & Gulliver, T. A. (2011). High-rate Fibonacci polynomial codes. In: Proceedings of IEEE International Symposium on Information Theory Proceedings, St. Petersburg, Russia, pp. 1921–1924. https://doi.org/10.1109/ISIT.2011.6033886
Esmaili, M., Moosavi, M., & Gulliver, T. A. (2017, January). A new class of Fibonacci sequence based error correcting codes. Cryptography and Communications, Vol. 9, 379–396. https://doi.org/10.1007/s12095-015-0178-x
Esmaili, Mostafa, & Esmaeili, Morteza (2010). A Fibonacci-polynomial based coding method with error detection and correction. Computers and Mathematics with Applications, 60, 2738–2752. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2010.08.091
Falcon, S., & Plaza, A. (2009). On k-Fibonacci sequences and polynomials and their derivatives. Chaos, Solitons and Fractals, Vol. 39, issue 3, 1005–1019. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2007.03.007
Goy, Taras, & Shattuck, Mark (2019, December). Fibonacci and Lucas Identities from Toeplitz–Hessenberg Matrices. Applications and Applied Mathematics: An International Journal, 14(2), 699–715. URL: https://www.researchgate.net/publication/337906242_Fibonacci_and_Lucas_Identities_from_Toeplitz-Hessenberg_Matrices
Gryciuk, Yurij, Grytsyuk, Pavlo (2015). Perfecting of the matrix Affine cryptosystem information security. Computer Science and Information Technologies: Proceedings of Xth International Scientific and Technical Conference (CSIT2015), 14–17 September, 2015, pp. 67–69. https://doi.org/10.1109/stc-csit.2015.7325433
Grytsiuk, P. Yu., & Hrytsiuk, Yu. I. (2015). Peculiarities of the implementation of the matrix Athena cryptosystem of information protection. Scientific Bulletin of UNFU, 25(5), 346–356. URL: https://nv.nltu.edu.ua/index.php/journal/article/view/1092
Hoggat, V. E. (1969). Fibonacci and Lucas numbers. Palo Alto (CA): Houghton-Mifflin. URL: https://www.peliti.org/Notes/fibonacciLucas.pdf
Hoggat, V. E., Bicknell, Marjorie. (1973). Roots of fibonacci polynomials. The Fibonacci Quarterly, Vol/ 11, issue 3, 271–274. https://doi.org/10.1080/00150517.1973.12430825
Hrytsiuk, Yu. I., & Grytsiuk, P. Yu. (2015). Implementation of cryptographic transformations using Fibonacci G()-matrices. Mathematical and software support of intelligent systems: materials of the 13th International Scientific and Practical Conference, (pp. 53–54), November 18–20, 2015, Dnipropetrovsk, Ukraine. Dnipropetrovsk: Department of Dnipropetrovsk National University named after Olesya Honchara.
Hrytsiuk, Yu. I., & Grytsiuk, P. Yu. (2015). Methods and means of generating Fibonacci Qp-matrices – keys for implementing cryptographic transformations. Scientific Bulletin of UNFU, 25(6), 334–351. URL: https://nv.nltu.edu.ua/index.php/journal/article/view/974
Hrytsiuk, Yu. I., & Grytsiuk, P. Yu. (2016). Features of generating Fibonacci Qp-matrices – keys for implementing cryptographic transformations. Bulletin of the National University "Lviv Polytechnic". Series: Computer Science and Information Technology, Vol. 843, 251–263. URL: https://vlp.com.ua/node/16094
Hrytsiuk, Yu. I., & Grytsiuk, P. Yu. (2016). Features of generating Fibonacci Gp()-matrices for implementation of cryptographic transformations. Information extraction and processing: interdepartmental collection of scientific papers, 43(119), 86–95.
Hrytsiuk, Yuriy, & Grytsyuk, Pavlo (2016). Generation of Fibonacci Qp()-matrices – keys for data encryption. Information protection and security of information systems: materials of the 5th International Scientific and Technical Conference, (pp. 39–40), June 02–03, 2016, Lviv, Ukraine. Lviv: Lviv Polytechnic State University.
Hrytsiuk, Yuriy, Grytsyuk, Pavlo, Dyak, Tetiana, & Hrynyk, Heorhiy. (2019). Software Development Risk Modeling. IEEE 2019 14th International Scientific and Technical Conference on Computer Sciences and Information Technologies (CSIT 2019), (Vol. 2, pp. 134–137), 17–20 September, Lviv, Ukraine. Lviv: Lviv Polytechnic National University, 206 p. https://doi.org/10.1109/stc-csit.2019.8929778
Jin, Z. (2018). On the Lucas polynomials and some of their new identities. Adv Differ Equ, 126 (2018). https://doi.org/10.1186/s13662-018-1527-9
Kargın, Alparslan, Kişi, Emre, & Özdemir, Halim. (2019, September). Some Notes on Odd or Even Indexed Fibonacci and Lucas Sequences. Sakarya University Journal of Science, 23(5), 929–933. https://doi.org/10.16984/saufenbilder.536642
Knuth, Donald. (1968). The art of computer programming 1: Fundamental algorithms 2: Semi Numerical algorithms 3: Sorting and searching, MA: Addison-Wesley 30.
Koshy, Thomas. (2001). Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. A Wiley-Interscience Publication, 654 p. https://doi.org/10.1002/9781118033067
Kuhapatanakul, K. (2015). The Lucas p-matrix. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. https://doi.org/10.1080/0020739X.2015.1026612
Mostafa Esmaili & Morteza Esmaeili. (2010). A Fibonacci-polynomial based coding method with error detection and correction. Computers and Mathematics with Applications, Vol. 60, issue 10, 2738–2752. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2010.08.091
Neeraj Kumar Paul, & Helen K. Saikia. (2023). A generalization of Lucas sequence and associated identities. Boletim da Sociedade Paranaense de Matematica, Vol. 41, 1–20. https://doi.org/10.5269/bspm.53068
Nihal Tas, Sumeyra Ucar, Nihal Yilmaz Ozgur, & Oztunc Kaymak. (2018). A new coding/decoding algorithm using Fibonacci numbers. Discrete Mathematics, Algorithms and Applications, Vol. 10, No. 02, article ID 1850028. https://doi.org/10.1142/S1793830918500283; https://doi.org/10.48550/arXiv.1712.02262
Octavian Postavaru. (October 2023). An efficient numerical method based on Fibonacci polynomials to solve fractional differential equations. Mathematics and Computers in Simulation, Vol. 212, 406–422. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2023.04.028
Omprakash Sikhwal, & Yashwant Vyas. (2014). Fibonacci Polynomials and Determinant Identities. Turkish Journal of Analysis and Number Theory, 2(5), 189–192. https://doi.org/10.12691/tjant-2-5-6
Özkan, Engin, Taştan, Merve & Aydoğdu, Ali. (2019). Fibonacci Sayılarının Ailesinde 3-Fibonacci Polinomları. Erzincan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi. Cilt: 12 Sayı: 2, 926–933. https://doi.org/10.18185/erzifbed.512100
Perumali, Sundarayya, & Prasad, M. G. Vara. (2019, October). Coding theory on Pell-Lucas p-numbers. Journal of Physics Conference Series, 1344(1), article ID 012017. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1344/1/012017
Prasad, Bandhu. (2014). Coding theory on (h(x), g(y))-extension of Fibonacci p-numbers polynomials. Universal Journal of Computational Mathematics, Vol. 2(1), 6–10. https://doi.org/10.13189/ujcmj.2014.020102
Prasad, Bandhu. (2014). High rates of Fibonacci polynomials coding theory. Discrete Mathematics, Algorithms and Applications, Vol. 06, No. 04, article ID 1450053. https://doi.org/10.1142/S1793830914500530
Prasad, Bandhu. (2016). Coding theory on Lucas p-numbers. Discrete Mathematics, Algorithms and Applications, Vol. 08, No. 04, article ID 1650074. https://doi.org/10.1142/S1793830916500749
Prasad, Bandhu. (2019). The generalized relations among the code elements for a new complex Fibonacci matrix. Discrete Mathematics, Algorithms and Applications, Vol. 11, No. 02, article ID 1950026. https://doi.org/10.1142/S1793830919500265
Sentürk, G. Y., Gürses, N., & Yüce, S. (2022). Construction of dual-generalized complex Fibonacci and Lucas quaternions. Carpathian Mathematical Publications, 14(2), 406–418. https://doi.org/10.15330/cmp.14.2.406-418
Singh, B., Sikhwal, O., & Panwar, Y. K.. (2009). Generalized Determinantal Identities Involving Lucas Polynomials. Applied Mathematical Sciences, 3(8), 377–388. URL: https://www.researchgate.net/publication/228526069_Generalized_Determinantal_Identities_Involving_Lucas_Polynomials
Stakhov, A. P. (2006, October). Fibonacci matrices, a generalization of the "Cassini formula", and a new coding theory. Chaos, Solitons, & Fractals, Vol. 30, issue 1, 56–66. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2005.12.054
Stakhov, A., & Rozin, B. (2005). Theory of Binet formulas for Fibonacci and Lucas p-numbers. Chaos, Solitons and Fractals, 27, No. 5, 1162–1177. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2005.04.106
Stakhov, Alexey, & Olsen, Scott. (2009). The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. Series on Knots and Everything, 22. World Scientific Publishing Company; First Edition, 748 p. https://doi.org/10.1142/6635
Uçar, Sümeyra, Tas, Nihal, & Özgür, Nihal. (2019, May). A New Application to Coding Theory via Fibonacci and Lucas Numbers. Mathematical Sciences and Applications E-Notes, 7(1), 62–70. https://doi.org/10.36753/mathenot.559251
Urszula Bednar, & Małgorzata Wołowiec-Musiał. (2020). Distance Fibonacci Polynomials. Symmetry, 12(9), 1540 p. https://doi.org/10.3390/sym12091540
Vajda, S. (1989). Fibonacci and Lucas Numbers and the Golden Section Theory and Applications. Ellis Harwood Limitted, 190 p. https://doi.org/10.2307/3619858
Wang, Weiping, & Wang, Hui. (2017, August). Generalized Humbert polynomials via generalized Fibonacci polynomials. Applied Mathematics and Computation, Vol. 307, 204–216. https://doi.org/10.1016/j.amc.2017.02.050
Yang, Jizhen, & Zhang, Zhizheng. (2018, December). Some identities of the generalized Fibonacci and Lucas sequences. Applied Mathematics and Computation, Vol. 339, 451–458. https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.07.054
