Особливості шифрування блокових даних уточненими поліноміальними матрицями Фібоначчі
Анотація
Показана можливість вирішення проблеми генерування ключів для шифрування блокових даних у вигляді n-ої послідовності уточнених поліноміальних матриць Фібоначчі m-го порядку, елементами яких є поліноми Фібоначчі з номерами від (n–2)-го до (m+n–2)-го. Отримані матриці Фібоначчі дають змогу знаходити як їхні визначники, так і обернені матриці, придатні для матричного шифрування блокових даних. З'ясовано, що навіть за останнє десятиліття надруковано значну кількість публікацій, в кожній з яких обґрунтовано різні підходи як до генерування послідовностей поліноміальних матриць Фібоначчі, так і доведено доцільність їх використання для шифрування блокових даних. Виявлено, що застосування таких матриць як окремої процедури для захисту блокових даних у теорії та практиці криптографії трапляється вкрай рідко. Проаналізовано послідовності поліноміальних матриць Фібоначчі від 2-го до 5-го, згідно з яким виявлено недоліки у традиційному підході до формування структури елементів таких матриць, насамперед кількості (k) різних її елементів, якими є поліноми Фібоначчі не вище (n–1)-го степеня. Встановлено, що для матриць Фібоначчі будь-якого порядку (m) таких різних поліномів Фібоначчі буде всього k = 3, структура яких залежатиме тільки від номера (n) послідовності поліноміальної матриці Фібоначчі. Така незначна їх кількість є не тільки малоінформативною та прозорою для криптоаналітика, але й не стійкою щодо криптоаналізу. Уточнено структуру елементів поліноміальних матриць Фібоначчі, кількість яких вже залежить від порядку матриці (m) і становить k = m+1. Розроблено метод генерування послідовності уточнених поліноміальних матриць Фібоначчі, який полягає у використанні рекурентного матричного співвідношення, згідно з яким наступну поліноміальну матрицю утворюють шляхом множення змінної x послідовно на елементи поточної матриці, здійснюють додавання елементів утвореної матриці до елементів попередньої матриці, після чого в утворених елементах групують усі схожі доданки. Виявлено, що запропонована структура елементів n-ої послідовності поліноміальних матриць Фібоначчі m-го порядку має цікаву властивість, згідно з якою можна уникнути використання рекурентного матричного співвідношення, а генерувати відповідні поліноміальні матриці Фібоначчі тільки за номерами (m+n–2–j)-ої послідовності поліномів Фібоначчі, конкретні значення яких залежать від місця їхнього розташування в матриці та номера її стовпця, а саме "jÎ[0¸(m–1)]. Наведено механізми утворення послідовності з 8-ми поліноміальних уточнених матриць Фібоначчі від 2-го до 5-го порядків, елементами яких стали поліноми Фібоначчі не вище (m+n–2)-го степеня, що дало змогу проаналізувати не тільки особливості їхньої побудови, але й усвідомити відповідні процедури знаходження їхніх визначників і обернених матриць. Розроблено ПЗ, яке дає змогу генерувати як послідовності уточнених поліноміальних матриць Фібоначчі m-го порядку, так і знаходити їхні визначники та обернені поліноміальні матриці аналогічного порядку. Наведено приклад застосування матричного методу шифрування блокових даних уточненою поліноміальною матрицею Фібоначчі, що дає змогу зацікавленому читачу зрозуміти основний принцип шифрування як початкового повідомлення, так і розшифрування зашифрованого повідомлення.
Завантаження
Посилання
Abd-Elhameed, Waleed Mohamed, Philippou, Andreas N., & Zeyada, Nasr Anwer. (2022). Novel Results for Two Generalized Classes of Fibonacci and Lucas Polynomials and Their Uses in the Reduction of Some Radicals. Mathematics, 10(7), article ID 2342. https://doi.org/10.3390/math10132342
Asci, M., & Gurel, E. (2017). Some properties of k-order Gaussian Fibonacci and Lucas numbers. Ars Combinatoria, 135, 345–356. URI: https://hdl.handle.net/11499/23655
Asci, M., & Tasci, D. (2007). On Fibonacci, Lucas and special orthogonal polynomials. Journal of Computational and Applied Mathematics. https://doi.org/10.1016/J.CAM.2007.01.026
Ashok, G., Ashok Kumar, S., Chaya Kumari, D., & Ramakrishna, M. (2022). A type of public cryptosystem using polynomials and pell sequences. Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography, 25(7), 1951–1963. https://doi.org/10.1080/09720529.2022.2133237
Ashok, Gudela, Sadasivuni, Ashok Kumar, & Kumari, Dushma. (2023, August). An Approach of Cryptosystem using Polynomials and Lucas Numbers. Journal of Harbin Engineering University, 44(8), 25–31. URL: https://www.researchgate.net/publication/372991199_An_Approach_of_Cryptosystem_using_Polynomials_and_Lucas_Numbers
Basin, S. L. (1963). The Appearance of Fibonacci Numbers and the Q Matrix in Electrical Network Theory. Mathematics Magazine, 36(2), 84–97. https://doi.org/10.2307/2688890
Basu, M., & Prasad, B. (2009). The Generalized relations among the code elements for Fibonacci coding theory. Chaos, Solitons and Fractals, Vol. 41, issue 5, 2517–2525. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2008.09.030
Basu, Manjusri, & Das, Monojit. (2017). Coding theory on generalized Fibonacci n-step polynomials. Journal of Information and Optimization Sciences, Vol. 38, issue 1, 83–131. https://doi.org/10.1080/02522667.2016.1160618
Basu, Manjusri, & Prasad, Bandhu. (2009, November). Coding theory on the m-extension of the Fibonacci p-numbers. Chaos, Solitons, & Fractals, Vol. 42, issue 4, 30, 2522–2530. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2009.03.197
Basu, Manjusri, & Prasad, Bandhu. (2011). Coding theory on the (m,t)-extension of the Fibonacci p-numbers. Discrete Mathematics, Algorithms and Applications, Vol. 3, 259–267. https://doi.org/10.1142/S1793830911001097
Bednar, Urszula, & Wołowiec-Musiał, Małgorzata. (2020). Distance Fibonacci Polynomials. Symmetry, 12(3), 1540 p. https://doi.org/10.3390/sym12091540
Berg, Christian. (2011). Fibonacci numbers and orthogonal polynomials. Arab Journal of Mathematical Sciences, Vol. 17, 75–88. https://doi.org/10.1016/j.ajmsc.2011.01.001
Bhatnagar, Shikha, & Sikhwal, Omprakash. (2016, October). Generalized Fibonacci Polynomials and its Propertie. SCIREA Journal of Mathematics, Vol. 1, issue 1, 161–174. URL: https://article.scirea.org/pdf/11021.pdf
Boughaba, Souhila, Boussayoud, Ali, & Boubellouta, Khadidja. (2019, September). Generating Functions of Modified Pell Numbers and Bivariate Complex Fibonacci Polynomials. Turkish Journal of Analysis and Number Theory, 7(4), 113–116. https://doi.org/10.12691/tjant-7-4-3
Catalani, M. (2004). Some formulae for Bivariate Fibonacci and Lucas polynomials. arXiv:math/0406323. Combinatorics. https://doi.org/10.48550/arXiv.math/0406323
Chasnov, Jeffrey R. (2008). Fibonacci numbers and the golden ratio. The Hong Kong University of Science and Technology, 87 p. URL: https://www.math.hkust.edu.hk/~machas/fibonacci.pdf
Cheon, G. S., Kim, H., & Shapiro, L. W. (2009). A generalization of Lucas polynomial sequence. Discrete Applied Mathematics, Vol. 157, no. 5, 920–927. https://doi.org/10.1016/j.dam.2008.03.034
Domada, Triveni, Sadasivuni, Ashok Kumar, Ashok, Gudela, & Kumari, Dushma. (2023, August). Super-Encryption with Pell-Lucas Matrices and Graphs via Laplace Transformations. Journal of Harbin Engineering University, 44(8), 975–980. URL: https://harbinengineeringjournal.com/index.php/journal/article/view/992
Esmaeili, M., & Esmaeili, M. (2009). Polynomial Fibonacci-Hessenberg matrices. Chaos, Solitons and Fractals, Vol. 41, issue 5, 2820–2827. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2008.10.012
Esmaeili, M., Esmaeili, M., & Gulliver, T. A. (2011). High-rate Fibonacci polynomial codes. In: Proceedings of IEEE International Symposium on Information Theory Proceedings, St. Petersburg, Russia, pp. 1921–1924. https://doi.org/10.1109/ISIT.2011.6033886
Esmaili, M., Moosavi, M., & Gulliver, T. A. (2017, January). A new class of Fibonacci sequence based error correcting codes. Cryptography and Communications, Vol. 9, 379–396. https://doi.org/10.1007/s12095-015-0178-x
Esmaili, Mostafa, & Esmaeili, Morteza. (2010). A Fibonacci-polynomial based coding method with error detection and correction. Computers and Mathematics with Applications, Vol. 60, issue 10, 2738–2752. https://doi.org/10.1016/j.camwa.2010.08.091
Falcon, S., & Plaza, A. (2009, February). On k-Fibonacci sequences and polynomials and their derivatives. Chaos, Solitons and Fractals, Vol. 39, issue 3, 1005–1019. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2007.03.007
Filipponi, P., & Horadam, A. F. (1991). Derivative Sequences of Fibonacci and Lucas Polynomials. In: Bergum, G. E., Philippou, A. N., Horadam, A. F. (Eds). Applications of Fibonacci Numbers. Springer, Dordrecht, (pp. 99–108). https://doi.org/10.1007/978-94-011-3586-3_12
Flaut, Cristina, & Savin, Diana. (2017, April). Some remarks regarding generalized Fibonacci-Lucas numbers and generalized Fibonacci-Lucas quaternions. arXiv:1705.00361v2 [math.RA]. https://doi.org/10.48550/arXiv.1705.00361
Fox, William P., & West, Richard D. (2024, September). Numerical Methods and Analysis with Mathematical Modelling (Textbooks in Mathematics). Chapman and Hall/CRC, 424 p. URL: https://www.amazon.com/Numerical-Mathematical-Modelling-Textbooks-Mathematics/dp/1032697237
Goy, Taras, & Shattuck, Mark. (2019, December). Fibonacci and Lucas Identities from Toeplitz–Hessenberg Matrices. Applications and Applied Mathematics: An International Journal, 14(2), 699–715. URL: https://www.researchgate.net/publication/337906242_Fibonacci_and_Lucas_Identities_from_Toeplitz-Hessenberg_Matrices
Gryciuk, Yurij, Grytsyuk, Pavlo. (2015). Perfecting of the matrix Affine cryptosystem information security. Computer Science and Information Technologies: Proceedings of Xth International Scientific and Technical Conference (CSIT2015), 14–17 September, 2015, (pp. 67–69). https://doi.org/10.1109/stc-csit.2015.7325433
Grytsiuk, P. Y., & Hrytsiuk, Y. I. (2025). Method for generating a sequence of Fibonacci polynomial matrices and their features for use in block data encryption. Scientific Bulletin of UNFU, 35(1), 173–191. https://doi.org/10.36930/40350121
Grytsiuk, P. Yu., & Hrytsiuk, Yu. I. (2015). Peculiarities of the implementation of the matrix Affine cryptosystem of information protection. Scientific Bulletin of UNFU, 25(5), 346–356. URL: https://nv.nltu.edu.ua/index.php/journal/article/view/1092
Hoggat, V. E. Jr. (1969). Fibonacci and Lucas numbers. Palo Alto (CA): Houghton-Mifflin. URL: https://www.peliti.org/Notes/fibonacciLucas.pdf
Hoggat, V. E., Bicknell, Marjorie. (1973). Roots of fibonacci polynomials. The Fibonacci Quarterly, Vol. 11, issue 3, 271–274. https://doi.org/10.1080/00150517.1973.12430825
Hoggatt, V. E. Jr., & Lind, D. A. (1968). Symbolic Substitutions in to Fibonacci Polynomials. The Fibonacci Quarterly, Vol. 6, no. 5, 55–74. https://doi.org/10.1080/00150517.1968.12431206
Hoggatt, V. E. Jr., Leonard, H. T. Jr., & Philips, J. W. (1971). Twenty-four Master Identities. The Fibonacci Quarterly, 9(1), 1–17. URL: https://www.fq.math.ca/Scanned/9-1/hoggatt.pdf; https://doi.org/10.1080/00150517.1971.12431028
Hrytsiuk, Yu. I., & Grytsiuk, P. Yu. (2015). Methods and means of generating Fibonacci Qp-matrices – keys for implementing cryptographic transformations. Scientific Bulletin of UNFU, 25(6), 334–351. URL: https://nv.nltu.edu.ua/index.php/journal/article/view/974
Hrytsiuk, Yu. I., & Grytsiuk, P. Yu. (2016). Features of generating Fibonacci Qp-matrices – keys for implementing cryptographic transformations. Bulletin of the National University "Lviv Polytechnic". Series: Computer Science and Information Technology, Vol. 843, 251–263. URL: https://vlp.com.ua/node/16094
Jin, Z. (2018). On the Lucas polynomials and some of their new identities. Adv Differ Equ, 126 (2018). https://doi.org/10.1186/s13662-018-1527-9
Karaaslan, N. (2019). A Note on Modified Pell Polynomials. Aksaray University Journal of Science and Engineering, 3(1), 1–7. https://doi.org/10.29002/asujse.511850
Kaygisiz, K., & Sahin, A. (2012). New Generalizations of Lucas Numbers. Gen Mathematics Notes, Vol. 10, no. 1, 63–77. URL: https://users.dimi.uniud.it/~giacomo.dellariccia/Glossary/Lucas/KaygisizSahin2012b.pdf
Koshy, Thomas. (2001). Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. A Wiley-Interscience Publication. Toronto, New York, NY, USA, 654 p. https://doi.org/10.1002/9781118033067
Lee, G. Y., & Asci, M. (2012). Some Properties of the (p,q)-Fibonacci and (p,q)-Lucas Polynomials. Journal of Applied Mathematics, Vol. 2012, article ID 264842, 18 p. https://doi.org/10.1155/2012/264842
Lupas, Alexandru. (1999). A Guide of Fibonacci and Lucas Polynomial. Octagon Mathematics Magazine, Vol. 7(1), 2–12.
Nalli, A Ayse, & Haukkanen, Pentti. (2009, December). On generalized Fibonacci and Lucas polynomials. Chaos Solitons & Fractals, Vol. 42, issue 5, 3179–3186. https://doi.org/10.1016/J.CHAOS.2009.04.048
Nihal Tas, Sumeyra Ucar, Nihal Yilmaz Ozgur, & Oztunc Kaymak. (2018). A new coding/decoding algorithm using Fibonacci numbers. Discrete Mathematics, Algorithms and Applications, Vol. 10, No. 02, article ID 1850028. https://doi.org/10.1142/S1793830918500283
Özkan, E., Taştan, M., & Aydoğdu, A. (2018). 2-Fibonacci polynomials in the family of Fibonacci numbers. Notes on Number Theory and Discrete Mathematics, 24(3), 47–55. https://doi.org/10.7546/nntdm.2018.24.3.47-55
Özkan, Engin, Taştan, Merve & Aydoğdu, Ali. (2019). Fibonacci Sayılarının Ailesinde 3-Fibonacci Polinomları. Erzincan Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi. Cilt: 12 Sayı: 2, 926–933. https://doi.org/10.18185/erzifbed.512100
Panwar, Yashwant K., Singh, B., & Gupta, V. K. (2013). Generalized Fibonacci Polynomials. Turkish Journal of Analysis and Number Theory, 1(1), 43–47. https://doi.org/10.12691/tjant-1-1-9
Perumali, Sundarayya, & Prasad, M. G. Vara. (2019, October). Coding theory on Pell-Lucas p-numbers. Journal of Physics Conference Series, 1344(1), article ID 012017. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1344/1/012017
Postavaru, Octavian. (October 2023). An efficient numerical method based on Fibonacci polynomials to solve fractional differential equations. Mathematics and Computers in Simulation, Vol. 212, 406–422. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2023.04.028
Prasad, Bandhu. (2014). Coding theory on (h(x), g(y))-extension of Fibonacci p-numbers polynomials. Universal Journal of Computational Mathematics, Vol. 2(1), 6–10. https://doi.org/10.13189/ujcmj.2014.020102
Prasad, Bandhu. (2014). High rates of Fibonacci polynomials coding theory. Discrete Mathematics, Algorithms and Applications, Vol. 06, No. 04, article ID 1450053. https://doi.org/10.1142/S1793830914500530
Prasad, Bandhu. (2016). Coding theory on Lucas p-numbers. Discrete Mathematics, Algorithms and Applications, Vol. 08, No. 04, article ID 1650074. https://doi.org/10.1142/S1793830916500749
Prasad, Bandhu. (2019). The generalized relations among the code elements for a new complex Fibonacci matrix. Discrete Mathematics, Algorithms and Applications, Vol. 11, No. 02, article ID 1950026. https://doi.org/10.1142/S1793830919500265
Prasad, K., & Mahato, H. (2021). Cryptography using generalized Fibonacci matrices with Affine-Hill cipher. Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography, 25(8), 2341–2352. Corpus ID: 14098285. https://doi.org/10.1080/09720529.2020.1838744
Ramirez, J. L. (2013). On convolved generalized Fibonacci and Lucas polynomials. Applied Mathematics and Computation, 229, 208–213. https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.12.049
Robbins, N. (1991). Vieta's triangular array and a related family of polynomials. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Vol. 14, no. 2, 239–244. https://doi.org/10.1155/S0161171291000261
Saba, Nabiha, & Boussayoud, Ali. (2020, June). Complete homogeneous symmetric functions of Gauss Fibonacci polynomials and bivariate Pell polynomials. Open Journal of Mathematical Sciences, 4(1), 179–185. https://doi.org/10.30538/oms2020.0108
Sentürk, G. Y., Gürses, N., & Yüce, S. (2022). Construction of dual-generalized complex Fibonacci and Lucas quaternions. Carpathian Mathematical Publications, 14(2), 406–418. https://doi.org/10.15330/cmp.14.2.406-418
Sikhwal, Omprakash, & Vyas, Yashwant. (2016, October). Generalized Fibonacci Polynomials and Some Fundamental Properties. SCIREA Journal of Mathematics, Vol, 1, issue 1, 16–23. URL: https://article.scirea.org/pdf/11002.pdf
Sikhwal1, Omprakash, & Vyas, Yashwant. (2014). Fibonacci Polynomials and Determinant Identities. Turkish Journal of Analysis and Number Theory, 2(5), 189–192. https://doi.org/10.12691/tjant-2-5-6
Singh, B., Sikhwal, O., & Panwar, Y. K. (2009). Generalized Determinantal Identities Involving Lucas Polynomials. Applied Mathematical Sciences, 3(8), 377–388. URL: https://www.researchgate.net/publication/228526069_Generalized_Determinantal_Identities_Involving_Lucas_Polynomials
Stakhov, A. P. (2006, October). Fibonacci matrices, a generalization of the "Cassini formula", and a new coding theory. Chaos, Solitons, & Fractals, Vol. 30, issue 1, 56–66. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2005.12.054
Swamy, M. N. S. (1965). Problem B-74. The Fibonacci Quarterly, Vol. 3, no. 3, 236 p. URL: https://www.sciepub.com/reference/152291
Taştan, M., & Özkan, E. (2021). Catalan transform of the k-Pell, k-Pell–Lucas and modified k-Pell sequence. Notes on Number Theory and Discrete Mathematics, 27(1), 198–207. https://doi.org/10.7546/nntdm.2021.27.1.198-207
Uçar, S. (2017). On some properties of generalized Fibonacci and Lucas Polynomials. An International Journal of Optimization and Control: Theories & Applications (IJOCTA), 7(2), 216–224. https://doi.org/10.11121/IJOCTA.01.2017.00398
Uçar, Sümeyra, Tas, Nihal, & Özgür, Nihal. (2019, May). A New Application to Coding Theory via Fibonacci and Lucas Numbers. Mathematical Sciences and Applications E-Notes, 7(1), 62–70. https://doi.org/10.36753/mathenot.559251
Vajda, S. (2007, December). Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section. Theory and Applications (Dover Books on Mathematics). Dover Publications, 192 p. URL: https://www.amazon.com/Fibonacci-Lucas-Numbers-Golden-Section/dp/0486462765
Wang, W., & Wang, H. (2015). Some results on convolved (p,q)-Fibonacci polynomials. Integral Transforms and Special Functions, 26(5), 340–356. https://doi.org/10.1080/10652469.2015.1007502
Wang, Weiping, & Wang, Hui. (2017, August). Generalized Humbert polynomials via generalized Fibonacci polynomials. Applied Mathematics and Computation, Vol. 307, 204–216. https://doi.org/10.1016/j.amc.2017.02.050
Yakymenko, I., Karpinski, M., Shevchuk, R., & Kasianchuk, M. (2024, May). Symmetric Encryption Algorithms in a Polynomial Residue Number System. Journal of Applied Mathematics. https://doi.org/10.1155/2024/4894415
Yang, Jizhen, & Zhang, Zhizheng. (2018, December). Some identities of the generalized Fibonacci and Lucas sequences. Applied Mathematics and Computation, Vol. 339, 451–458. https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.07.054
Yilmaz, N. (2024). Some new results for the generalized bivariate Fibonacci and Lucas polynomials. Corpus ID: 271426809. Mathematica Moravica. https://doi.org/10.5937/matmor2401097y
Yılmaz, N., & Aktaş, İ. (2023). Special transforms of the generalized bivariate Fibonacci and Lucas polynomials. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 52(3), 640–651. https://doi.org/10.15672/hujms.1110311
