Методи генерування поліномів Люка та особливості їх використання для шифрування даних

Анотація

Розробле­но ме­тоди ге­неру­вання послі­довностей по­ліно­мів Лю­ка n-го сте­пеня як осно­ви для шифру­вання по­токо­вих і бло­кових да­них, що дає можли­вість ефективно пе­реда­вати ка­нала­ми зв'язку відпо­відні по­відомлення різної ве­личи­ни. З'ясо­вано, що за останнє де­сяти­ліття надру­кова­но значну кіль­кість публі­кацій, в кожній з яких обґрунто­вано різні підхо­ди до ге­неру­вання по­ліно­мів Лю­ка та до­веде­но до­ціль­ність їх ви­користання для шифру­вання да­них. Про­те біль­шість досліджень сто­сується окре­мих про­цедур за­хисту да­них, що в те­орії та практи­ці криптогра­фії трапля­ють­ся вкрай рідко. Вста­новле­но основну складність пробле­ми ге­неру­вання послі­довностей по­ліно­мів Лю­ка n-го сте­пеня, які є осно­вою шифру­вання по­токо­вих і бло­кових да­них, що дасть можли­вість здійсню­вати ефективний їх за­хист. На­веде­но ві­домі спо­соби по­дання чи­сел Фі­боначчі та Лю­ка, а та­кож по­ліно­мів Лю­ка, які можна засто­сува­ти у тра­диційно­му ме­тоді шифру­вання да­них. Вста­новле­но, що в послі­довностях чи­сел Фі­боначчі та Лю­ка, де відно­шення двох послі­довних еле­ментів набли­жається до зо­лото­го пе­рері­зу, їхні чле­ни є набли­ження­ми ці­лих сте­пенів зо­лото­го пе­рері­зу. Запро­поно­вано ме­тод матрично­го по­дання по­ліно­мів Лю­ка та їх оберне­них екві­валентів, які можна засто­сува­ти у тра­диційно­му ме­тоді шифру­вання да­них. Для цього не­обхідно пе­ремно­жити спе­ці­аль­ну матри­цю n-го по­рядку з відпо­відни­ми ко­ефі­цієнта­ми на по­ліном n-го сте­пеня, внаслі­док чо­го отри­маємо на­бір по­ліно­мів Лю­ка L_n(x) відпо­відно­го сте­пеня. Зазви­чай, спе­ці­аль­на матри­ця є нижньою три­кутною матри­цею, всі еле­менти го­ловної ді­аго­налі якої оди­ниці. Розробле­но ме­тод ге­неру­вання по­ліно­мі­аль­них матриць Лю­ка n-го сте­пеня та їх оберне­них матриць, еле­мента­ми яких є по­ліно­ми Лю­ка, які можна засто­сува­ти у тра­диційно­му ме­тоді шифру­вання да­них. Оскіль­ки по­ліно­мі­аль­ні оберненні матри­ці ви­користо­ву­ють для розшифру­вання да­них, то про­цеду­ра їхньо­го ге­неру­вання має ма­ти за­галь­ний вигляд. Розробле­но ПЗ, яке дає змо­гу ге­неру­вати по­ліно­мі­аль­ні матри­ці Лю­ка n-го сте­пеня та m-го по­ряду, а та­кож їхні оберне­ні по­ліно­мі­аль­ні матри­ці ана­логічно­го сте­пеня та по­ряду. За ре­зуль­та­тами ви­кона­ного дослідження зробле­но висновки та на­дано відпо­відні ре­коменда­ції що­до їх практично­го ви­користання як осно­ви для шифру­вання по­токо­вих і бло­кових да­них.