Інтерполяція таблично-заданих функцій з використанням многочлена Фур'є

Ключові слова: матрична алгебра, обчислювальна математика, періодична функція, коефіцієнти інтерполянти, вузлові точки, вузли інтерполяції, алгоритм розв'язання задачі, математичне формулювання задачі

Анотація

Розроблено методологію інтерполяції періодичних таблично-заданих функцій многочленом Фур'є n-го порядку в довільно розташованих вузлах інтерполяції, що дає можливість обчислювати їх проміжні значення між вузловими точками, а також чисельно їх диференціювати. Розглянуто деякі особливості інтерполяції періодичних многочленом Фур'є n-го порядку, наведено алгоритм розв'язання та математичне формулювання задачі інтерполяції, наведено її формалізований запис, а також матричний запис процедур інтерполяції для певних значень аргумента в довільно розташованих вузлах інтерполяції. Існує багато різних способів інтерполяції періодичних таблично-заданих функцій. З'ясовано, що вибір найпридатнішого алгоритму залежить від того, наскільки обраний метод є точним, має необхідну стійкість та збіжність, які затрати комп'ютерних ресурсів на його використання, наскільки гладкою є крива інтерполянти, яку кількість наборів даних (значень аргументів і відповідних значень функції) вона вимагає і т.д. Наведено алгоритми розв'язання задачі інтерполяції періодичних таблично-заданих функцій многочленом Фур'є 1-го, 2-го і 3-го порядків, простота й наочність якого є однією з його переваг, але він незручний для його програмної реалізації. Наведено математичне формулювання задачі інтерполяції у термінах матричної алгебри, яке зводиться до обчислення матриці Фур'є за відомими з таблиці значеннями вузлових точок, до формування вузлового вектора-стовпця за вказаними у таблиці значеннями функції, а також до розв'язання лінійної системи алгебричних рівнянь, коренем якої є числові коефіцієнти многочлена Фур'є n-го порядку. Розроблено метод розрахунку коефіцієнтів інтерполянти, заданої многочленом Фур'є n-го порядку, сутність якого полягає в обчисленні добутку матриці, оберненої до матриці Фур'є, яку визначають за значеннями вузлових точок таблично-заданої функції, на вектор-стовпець, який містить значення вузлів інтерполяції. На конкретних прикладах продемонстровано особливості розрахунку коефіцієнтів інтерполянт, заданих многочленом Фур'є 1-го, 2-го і 3-го порядків, а також для кожної з них обчислено інтерпольоване значення функції у заданій точці. Розрахунки виконано в середовищі Excel, які за аналогією можна успішно реалізувати й в будь-якому іншому обчислювальному середовищі.

Біографії авторів

Ю. І. Грицюк, Національний університет "Львівська політехніка", м. Львів

д-р техн. наук, професор, кафедра програмного забезпечення

В. І. Гавриш, Національний університет "Львівська політехніка", м. Львів

д-р техн. наук, професор, кафедра програмного забезпечення

Посилання

Andrunyk, V. A., Vysotska, V. A., & Pasichnyk V. V. (Ed.), et al. (2018). Numerical methods in computer science: textbook. Issue 2. Lviv: Novy svit-2000, 536 p. [In Ukrainian].

Boyko, L. T. (2009). Fundamentals of numerical methods: textbook. Dnipropetrovsk: DNU Publishing House, 244 p. [In Ukrainian].

Duan, Qi, Zhang, Yunfeng, & Twizell, E. H. (2005). A new C2 rational interpolation based on function values and constrained control of the interpolant curves. Applied Mathematics and Computation, 161(1), 311 p. https://doi.org/10.1016/j.amc.2003.12.030

Duan, Qi, Zhang, Yunfeng, & Twizell, E. H. (2005). A new weighted rational cubic interpolation and its approximation. Applied Mathematics and Computation, 168(2), 990 p. https://doi.org/10.1016/j.amc.2004.09.041

Duan, Qi, Zhang, Yunfeng, & Twizell, E. H. (2006). A bivariate rational interpolation and the properties. Applied Mathematics and Computation, 179(1), 190 p. https://doi.org/10.1016/j.amc.2005.11.094

Duan, Qi, Zhang, Yunfeng, & Twizell, E. H. (2008). Hermite interpolation by piecewise rational surface. Applied Mathematics and Computation, 198(1), 59 p. https://doi.org/10.1016/j.amc.2007.08.050

Filts, R. V. (1994). Calculation of Taylor and Fourier polynomials and their derivatives. Synopsis of lectures on the subject "Mathematical problems of electromechanics" for students. special 1801 "Electromechanics". Lviv: State University "Lviv Polytechnic", 24 p. [In Ukrainian].

Filts, R. V., & Kotsyuba, M. V. (1988). The program of natural power interpolation and differentiation of a tabular function of several independent variables. Kyiv, Deposited with RFAP. INB.NAn0223. [In Russian].

Filts, R. V., & Kotsyuba, M. V. (1989). Calculation of two-dimensional magnetic fields by the collocation method using the theory of natural interpolation. Izvestiya vuzov. Electromechanics, 3, 5–12. [In Russian].

Filts, R. V., Kotsyuba, M. V., & Grytsyuk, Yu. I. (1991). Algorithm for computing the Taylor polynomial and its derivatives on a computer. Izvestia of universities. Electromechanics, 5, 5–10. [In Russian].

Giampietro Allasia, & CesareBracco. (2011). Two interpolation operators on irregularly distributed data in inner product spaces. Journal of Computational and Applied Mathematics, 235(7), 1763 p. https://doi.org/10.1016/j.cam.2010.04.025

Goodman, T. N. T., & Meek, D. S. (2007). Planar interpolation with a pair of rational spirals. Journal of Computational and Applied Mathematics, 201(1), 112 p. https://doi.org/10.1016/j.cam.2006.02.003

Harim, N. A., & Abdul Karim, S. A. (2021). Positivity Preserving Using C2 Rational Quartic Spline Interpolation. In: Abdul Karim, S. A., Abd Shukur, M. F., Fai Kait, C., Soleimani, H., Sakidin, H. (Eds). Proceedings of the 6th International Conference on Fundamental and Applied Sciences. Springer Proceedings in Complexity. Springer, Singapore. https://doi.org/10.1007/978-981-16-4513-6_46

Hrytsiuk, Yu. I. (2014). Computational methods and models in scientific research: monograph. Lviv: LSU BZD Publishing House. 288 p. [In Ukrainian].

Hrytsiuk, Yu. I. (2022). Comprehensive software quality assessment system. Scientific Bulletin of UNFU, 32(2), 81–95. https://doi.org/10.36930/40320213

Hrytsiuk, Yu. I. (2022). Features of giving preference to the characteristics of the software product quality model. Scientific Bulletin of UNFU, 32(3), 79–102. https://doi.org/10.36930/40320313

Hrytsiuk, Yu. I. (2022). Software quality management system. Ukrainian Journal of Information Technology, 4(1), 01–20. https://doi.org/10.23939/ujit2022.01.001

Hrytsiuk, Yu. I., & Andrushchakevych, O. T. (2018). Means for determining software quality by metric analysis methods. Scientific Bulletin of UNFU, 28(6), 159–171. https://doi.org/10.15421/40280631

Hrytsiuk, Yu. I., & Buchkovska, A. Yu. (2018). Visualization of the results of expert evaluation of software quality using polar diagrams. Scientific Bulletin of UNFU, 27(10), 137–145. https://doi.org/10.15421/40271025

Hrytsiuk, Yu. I., & Dalyavskyy, V. S. (2018). Using Petal Diagram for Visualizing the Results of Expert Evaluation of Software Quality. Scientific Bulletin of UNFU, 28(9), 97–106. https://doi.org/10.15421/411832

Hrytsiuk, Yu. I., & Nemova, E. A. (2018). Management Features Process of Developing Software Requirements. Scientific Bulletin of UNFU, 28(8), 161–169. https://doi.org/10.15421/40280832

Hrytsiuk, Yu. I., & Nemova, E. A. (2018). Peculiarities of Formulation of Requirements to the Software. Scientific Bulletin of UNFU, 28(7), 135–148. https://doi.org/10.15421/40280727

Hrytsiuk, Yu. I., & Zhabych, M. R. (2018). Risk Management of Implementation of Program Projects. Scientific Bulletin of UNFU, 28(1), 150–162. https://doi.org/10.15421/40280130

Hussain, Malik Zawwar, & Muhammad Sarfraz. (2008). Positivity-preserving interpolation of positive data by rational cubics. Journal of Computational and Applied Mathematics, 218(2), 446 p. https://doi.org/10.1016/j.cam.2007.05.023

Jin Xie, & Xiaoyan Liu. (2021). Adjustable Piecewise Quartic Hermite Spline Curve with Parameters. Mathematical Problems in Engineering, 2021, Article ID 2264871, 6 p. https://doi.org/10.1155/2021/2264871

Kolesnytskyi, O. K., Arsenyuk, I. R., & Mesyura, V. I. (2017). Numerical methods: tutorial. Vinnytsia: VNTU, 130 p. [In Ukrainian].

Krylyk, L. V., Bogach, I. V., & Lisovenko, A. I. (2019). Numerical Methods. Numerical integration of functions: tutorial. Vinnytsia: VNTU, 74 p. [In Ukrainian].

Krylyk, L. V., Bogach, I. V., & Prokopova, M. O. (2013). Computational mathematics. Interpolation and approximation of tabular data: tutorial. Vinnytsia: VNTU, 111 p. [In Ukrainian].

Kvetny, R. N., Dementiev, V. Yu., Mashnytskyi, M. O., & Yudin, O. O. (2009). Difference methods and splines in multidimensional interpolation problems: monograph. Vinnytsia: Universum-Vinnytsia, 92 p. [In Ukrainian].

Kvyetny, R. N., & Bogach, I. V. (2003). Interpolation of a function of two variables by the Lagrange method. Bulletin of the Vinnytsia Polytechnic Institute, 6, 365–368. [In Ukrainian].

Kvyetny, R. N., Kostrova, K. Yu., & Bogach, I. V. (2005). Interpolation by self-similar sets: monograph. Vinnytsia: Universum-Vinnytsia, 100 p. [In Ukrainian].

Malik Zawwar Hussain, & Muhammad Sarfraz. (2008). Positivity-preserving interpolation of positive data by rational cubics. Journal of Computational and Applied Mathematics, 218(2), 446–458. https://doi.org/10.1016/j.cam.2007.05.023

Mamchuk, V. I. (2015). Numerical methods: tutorial. Kyiv: National Aviation University, 388 p. [In Ukrainian].

Mikhailets, V. A., & Murach, A. A. (2010). Hörmander spaces, interpolation and elliptic problems. With a preface by Yu. M. Berezansky. Kyiv: IM NAS of Ukraine, 370 p. [In Russian].

Min Hu, & Jieqing Tan. (2006). Adaptive osculatory rational interpolation for image processing. Journal of Computational and Applied Mathematics, 195(1-2), 46 p. https://doi.org/10.1016/j.cam.2005.07.011

Moskalets, O. F., & Shutko, V. M. (2010). The method of least squares for splines of odd powers. Bulletin of Engineering Academy of Ukraine, 2, 224. [In Ukrainian].

Nekrasov, O. N., & Mirmovich, E. G. (2010). Interpolation and approximation of data by polynomials of power, exponential and trigonometric types. Scientific and educational problems of civil protection, 4, 23–27. [In Russian].

Pahirya, M. M. (1994). Interpolation of functions by a chained fraction and a branched chained fraction of a special type. Scientific Bulletin of Uzhhorod University. Ser. Mathematical, 1, 72–79. [In Ukrainian].

Petukh, A. M., Obidnyk, D. T., & Romanyuk, O. N. (2007). Interpolation in problems of contour formation: monograph. Vinnytsia: VNTU, 104 p. [In Ukrainian].

Qinghua Sun, Fangxun Bao, Yunfeng Zhang, & Qi Duan. (2013). A bivariate rational interpolation based on scattered data on parallel lines. Journal of Visual Communication and Image Representation, 24(1), 75–80. https://doi.org/10.1016/j.jvcir.2012.11.003

Romanyuk, O. N., Kryschuk, S. O., & Yakovenko, R. S. (2012). Development of methods of hardware control of linear interpolating devices. Measuring and computing equipment in technological processes, 2, 98–101. [In Ukrainian].

Romanyuk, O. N., Melnyk, O. V., & Romanyuk. O. V. (2017). Implementation of circular interpolation when using a hexagonal raster. Scientific works of the Donetsk National Technical University. Ser. Informatics, cybernetics and computer technology, 1, 53–58. [In Ukrainian].

Romanyuk, O. N., Obidnyk, M. D., & Melnikov, O. M. (2012). Simplification of the procedure for determining vectors using spherical-angular interpolation. Registration, storage and processing of data, 14(2), 14–24. Retrieved from: http://nbuv.gov.ua/UJRN/rzod_2012_14_2_4. [In Ukrainian].

Romanyuk, O. N., Romanyuk, O. V., & Velychko M. O. (2020). Analysis of circular interpolation methods. The 12 th International scientific and practical conference "Impact of Modernity on Science and Practice" (12-13 April, 2020), 572–574. Edmonton, Canada 2020.

Sarfraza, M., Hussain, & Malik Zawwar. (2006). Data visualization using rational spline interpolation. Journal of Computational and Applied Mathematics, 189(1-2), 513 p. https://doi.org/10.1016/j.cam.2005.04.039

Stefan Jakobsson, Bjorn Andersson, & Fredrik Edelvik. (2009). Rational radial basis function interpolation with applications to antenna design. Journal of Computational and Applied Mathematics, 233(4), 889 p. https://doi.org/10.1016/j.cam.2009.08.058

Tsegelyk, H. G. (2004). Numerical methods: textbook for university students. Lviv National University named after Ivan Franko. Lviv, 407 p. [In Ukrainian].

Tyada, K. R., Chand, A. K. B., & Sajid, M. (2021). Shape preserving rational cubic trigonometric fractal interpolation functions. Mathematics and Computers in Simulation, 190, 866–891. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2021.06.015

Voit, B. L., & Romaniuk, O. N. (2017). The method and device of linear interpolation with control based on the analysis of the evaluation function. Materials of the XLVI scientific and technical conference of VNTU divisions, Vinnytsia, March 22-24, 2017. Retrieved from: https://conferences.vntu.edu.ua/index.php/all-fitki/all-fitki-2017/paper/view/2679. [In Ukrainian].

Volontyr, L. O., Zelinska, O. V., Potapova, N. A., & Chikov, I. A. (2020). Numerical methods: tutorial. Vinnytsia NAU. Vinnytsia: VNAU, 322 p. [In Ukrainian].

Yakovyna, V. S., Fedasyuk, D. V., & Mamrokha, N. M. (2010). Software quality. Software engineering, 2, 24–29. [In Ukrainian].

Yakovyna, V. S., & SymetsІ. І. (2021). Software defect prediction using neural network ensemble. Scientific Bulletin of UNFU, 31(6), 104-111. https://doi.org/10.36930/40310616

Yaroshenko, O. I., & Grihorkiv, M. V. (2018). Numerical methods: tutorial. Chernivtsi: Chernivtsi National University, 172 p. [In Ukrainian].

Youtian Tao, & Dongyin Wang. (2015). A bivariate rational cubic interpolating spline with biquadratic denominator. Applied Mathematics and Computation, 264(1), 366–377. https://doi.org/10.1016/j.amc.2015.04.100

Zhu, Y., & Wang, M. (2020). A class of C1 rational interpolation splines in one and two dimensions with region control. Journal of Computational and Applied Mathematics, 39, 69. https://doi.org/10.1007/s40314-020-1067-2

Zhuo Liu, Shengjun Liu & Yuanpeng Zhu. (2021). C2 Rational Interpolation Splines with Region Control and Image Interpolation Application. Journal of Mathematical Imaging and Vision, 63, 394–416. https://doi.org/10.1007/s10851-020-01005-z

Опубліковано
2022-08-31
Як цитувати
Грицюк, Ю. І., & Гавриш, В. І. (2022). Інтерполяція таблично-заданих функцій з використанням многочлена Фур’є. Науковий вісник НЛТУ України, 32(4), 88-101. https://doi.org/10.36930/40320414
Розділ
Інформаційні технології

Статті цього автора (авторів), які найбільше читають

1 2 > >>