РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ДВОВИМІРНОЇ ЗАДАЧІ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ РЕКУРЕНТНОЮ НЕЙРОННОЮ МЕРЕЖЕЮ ДЖОРДАНА
Анотація
Розглянуто метод для розв’язання двовимірного рівняння теплопровідності в ізотропних матеріалах із граничними умовами першого типу, використовуючи штучну нейронну мережу (ШНМ) Джордана. Побудовано функцію вартості ШНМ, в основі якої лежить метод Кранка-Ніколсона. При досягненні функцією вартості мінімуму, виходи нашої мережі дають розв’язок рівняння теплопровідності. Ця функція вартості мінімізується методом Флетчера-Рівза за синаптичними вагами. Щоб знайти частинні похідні першого порядку від функції вартості за ваговими коефіцієнтами мережі, використано розширення стандартного алгоритму зворотного поширення, названого "Зворотним поширенням в часі за епохами". Підібрано архітектуру мережі з урахуванням специфіки розв’язуваної задачі. Оптимальні можливості апроксимації отримано з використанням двох шарів мережі без використання функцій активації через лінійність рівняння. Наведено результати моделювання на двох тестових задачах та здійснено порівняння результату з іншими числовими методами. Показано, що результати розрахунків з використанням цього підходу дають добре наближення до точних рішень. Також отримано задовільний розв’язок за межами часового діапазону, для якого відбувалось навчання. Показано стійкість та збіжність цього підходу при значеннях кроку за часом, для якого явні різницеві методи є чисельно нестабільними.Завантаження
Посилання
Aarts, L. P, & van der Veer, P. (2001). Solving nonlinear differential equations by a neural network method. Proceedings computational science conference, 3, 181–189. San Fransisco USA, May 2001. ed. / VN Alexandrov; JJ Dongarra.Berlin: Springer.
Farlou, S. (1985). Uravnenija s chastnymi proizvodnymi dlja nauchnyh rabotnikov i inzhenerov: per. s angl. Moscow: Mir, 384 p. [іn Russian].
Gorbachenko, V. I. (2003). Nejrokompjutery v reshenii kraevyh zadach teorii polja. Vol. 10 Moscow: Izd-vo "Radiotehnika", 336 p. [іn Russian].
Hameed, Dr. W. Abdul. (2016). Fletcher-Reeves conjugate gradient neural network to solve systems of linear equations. Department of Mathematics, School of Advanced Sciences, VIT University, Tamilnadu, India, 260 p.
Khajkin, S. (2006). Nejronnye seti: polnyj kurs: per. s angl. Izd. 2-oe, [pererab. i dop.]. Moscow: Izd. dom "Viljamsa", 1104 p. [іn Russian].
Lagaris, I. E., Likas, A. C., & Fotiadis, D. I. (1998). Artificial neural networks for solving ordinary and partial differential equations. IEEE Transactions on Neural Networks, 9(5), 987–1000.
Lagaris, I. E., Likas, A. C., &Papageorgiou, D. G. (2000). Neural-Network Methods for Boundary Value Problems with Irregular Bounadaries. IEEE Trans. Neural Networks, 11(5), 1041–1049.
Lee, H., & Kang, I. S. (1990). Neural algorithm for solving differential equations. Journal of Computational Physics, 91(1), 110–131.
Mall, S., & Chakraverty, S. (2013). Comparison of Artificial Neural Network Architecture in Solving Ordinary Differential Equations. Advances in Artificial Neural Systems, 3, 1–12.
Meade, A. J. Jr., & Fernandez, A. A. (1994). Solution of nonlinear ordinary differential equations by feedforward neural networks. Mathematical and Computer Modelling, 20(9), 19–44.
Novotarskyi, M. A., & Nesterenko, B. B. (2004). Shtuchni neironni merezhi: obchyslennia. Pratsi Instytutu matematyky HAH Ukrainy (Vol. 50, pp. 137–142). Kyiv: In-t matematyky HAH Ukrainy, 408 p. [іn Ukrainian].
Semenyshyn, N. O. (2016). Solving Heat Equation In One Dimension Using Jordan Recurrent Neural Network. Scientific Bulletin of UNFU, 26(7), 405–411. Retrieved from:
http://nv.nltu.edu.ua/index.php/journal/article/view/575
Vasilev, A. N., & Tarhov, D. A. (2009). Nejrosetevoe modelirovanie. Principy. Algoritmy. Prilozhenija. Sankt_peterburg: Gosudarstvennyj Politehnicheskij Universitet, 360 p. [іn Russian].
Werbos, P. J. (1990). Backpropagation through time: what it does and how to do it. Proceedings of the IEEE, 78(10), October, 1550–1560.
Zenkevich, O., & Morgan, K. (1986). Konechnye jelementy i approksimacija: per. s angl. Moscow: Mir, 318 p. [іn Russian].
Авторське право (c) 2017 Науковий вісник НЛТУ України
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
