Методи розв'язування початкової задачі з двосторонньою оцінкою локальної похибки
Анотація
Багато прикладних задач, наприклад для проектування радіоелектронних схем, автоматичних систем управління, розрахунку динаміки механічних систем, задачі хімічної кінетики загалом зводяться до розв'язування нелінійних диференціальних рівнянь і їх систем. Точні розв'язки досліджуваних задач можна отримати лише в окремих випадках. Тому потрібно використовувати наближені методи. Під час дослідження математичних моделей виникає потреба знаходити не тільки наближений розв'язок, але й гарантовану оцінку похибки результату. Використання традиційних двосторонніх методів Рунге-Кутта призводить до істотного збільшення обсягу обчислень. Ланцюгові (неперервні) дроби набули широкого застосування у прикладній математиці, оскільки вони за відповідних умов дають високу швидкість збіжності, монотонні та двосторонні наближення, мають слабку чутливість до похибки заокруглення. У роботі виведено методи типу Рунге-Кутта третього порядку точності для розв'язування початкової задачі для звичайних диференціальних рівнянь, що базуються на неперервних дробах. Характерною особливістю таких алгоритмів є те, що за певних значень відповідних параметрів можна отримати як нові, так і традиційні однокрокові методи розв'язання задачі Коші. Запропоновано розрахункові формули другого порядку точності, які на кожному кроці інтегрування дають змогу без додаткових звертань до правої частини диференціального рівняння отримати не тільки верхні та нижні наближення до точного розв'язку, а також дають інформацію про величину головного члена локальної похибки. Для практичної оцінки похибки на кожному кроці інтегрування у разі використання односторонніх формул типу Рунге-Кутта порядку p застосовують двосторонні обчислювальні формули порядку (p–1). Зауважимо, що використовуючи запропоновані розрахункові формули в кожному вузлі сітки будуть отримані декілька наближень до точного розв'язку, порівняння яких дає корисну інформацію, зокрема в питанні вибору кроку інтегрування, або в оцінці точності результату.
Посилання
Akselrud, G. A., & Altshuler, M. A. (1983). Vvedeniye v kapilyarno-khimicheskuyu tekhnologiyu. Moscow: Chemistry, 263 p. [In Russian].
Aptekarev, A. I., & Yattselev, M. L. (2015). Pade approximants for functions with branch points-strong asymptotics of Nuttall – Stahl polynomials. Acta Math., 215, 217–280.
Baker, G. A., & Graves-Morris, Jr. P. (1996). Pade Approximants. (2nd ed.). Cambridge: Cambridge University Press.
Bakhvalov, N. S. (1975). Chislennyye metody. (Vol. 1). Moscow: Science, 632 p. [In Russian].
Brezinski, C., & Redivo-Zaglia, M. (2015). New representations of Pade, Pade-type, and partial Pade approximants. J. Comput. Appl. Math., 284, 69–77.
Butcher, J. C. (2008). Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, London: Wiley & Sons.
Butusov, D., Karimov, A., Tutueva, A., Kaplun, D., & Nepomuceno, E. (2019).The Effects of Padé Numerical Integration in Simulation of Conservative Chaotic Systems. Entropy, 21(4), 362–369. https://doi.org/10.3390/e21040362
Dekker, K., & Werner, J. (1988). Stability of Runge-Kutta Methods for Stiff Differential Equations. Moscow: Mir. [Russian translation].
Devyatko, V. I. (1963). O dvustoronnem priblizhenii pri chislennom integrirovanii differentsialnykh uravneniy. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheskoy fiziki, 3(2), 254–265. [In Russian].
Dobronets, B. S., & Shaydurov, V. V. (1990). Dvustoronniye chislennyye metody. Novosibrsk: Science, 206 p. [In Russian].
Golberg, S. M., Zakharov, S. S., & Filippov, S. S. (1976). O nekotorykh chislennykh metodakh resheniya zhestkikh sistem obyknovennykh differentsialnykh uravneniy. Preprint. Moscow: IPM AN SSSR, №12, 48 p. [In Russian].
Gorbunov, A. D., & Shakhov, Yu. A. (1963a). O priblizhennom reshenii zadachi Koshi dlya obyknovennikh differentsialnykh uravneniy s napered zadannym chislom vernykh znakov. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheskoy fiziki, 3(2), 239–253. [In Russian].
Gorbunov, A. D., & Shakhov, Yu. A. (1963b). O priblizhennom reshenii zadachi Koshi dlya obyknovennikh differentsialnykh uravneniy s napered zadannym chislom vernykh znakov. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheskoy fiziki, 4(2), 426–433. [In Russian].
Hairer, E., Norsett, S. P., & Wanner, G. (1990). Solving Ordinary Differential Equations: Nonstiff Problems. Berlin: Springer.
Hofreither, C. A., (2019). Unified View of Some Numerical Methods for Fractional Diffusion. RICAM. Austrian Academy of Sciences. Report № 12, 21 p.
Jones, W., & Tron, W. (1985). Continued Fractions. Analytic Theory and Applications. Moscow: Mir. [Russian translation].
Krylov, V. I., Bobkov, V. V., & Monastyrnyy, P. I. (1977). Vychislitelnyye metody. (Vol. 2). Moscow: Science, 400 p. [In Russian].
Lozi, R., Pogonin, V. A., & Pchelintsev, A. N. (2016). A new accurate numerical method of approximation of chaotic solutions of dynamical model equations with quadratic nonlinearities. Chaos Soliton. Fract., 91, 108–114. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2016.05.010
Lyashko, I. I., Makarov, V. L., & Skorobogatko. A. A. (1977). Metody vychisleniy. Kyiv: Higher school, 408 p. [In Russian].
Nakatsukasa, Y., Sete, O., & Trefethen, L. N. (2018). The AAA Algorithm For Rational Approximation. Siam J. Sci. Comput. Society For Industrial And Applied Mathematics. 40(3), A1494–A1522. https://doi.org/10.1137/16M1106122
Nepomuceno, E. G., & Mendes, E. M. (2017). On the analysis of pseudo-orbits of continuous chaotic nonlinear systems simulated using discretization schemes in a digital computer. Chaos Soliton. Fract., 95, 21–32. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2016.12.002
Pelekh, Ya. M., Mentynskyi, S. M., & Pelekh, R. Ya. (2016). Nonlinear numerical methods for the solution of initial value problem for ordinary differential equations. Scientific Bulletin of Mukachevo State University. Journal of Scientific Articles, 20(15), 65–75.
Pelekh, Ya., Mentynskyi, S., Maherovska, T., Stolyarchuk, R., Kunynets, A., & Pakholok, B. (2019). Simulation and analysis of the magnetic field distribution in a magneto-solid layer. The Experience of Designing and Application of CAD Systems. CADSM 2019: Proceedings of 15th International Conference, Polyana-Svalyava, 5/36-5/40. Ukraine.
Ramos, H., Singh, G., Kanwar, V., & Bhatia, S. (2017). An embedded 3 (2) pair of nonlinear methods for solving first order initial-value ordinary differential systems. Numer. Algorithms, 75, 509–529. https://doi.org/10.1007/s11075-016-0209-5
Salikhov, N. I. (1962). O polyarnykh metodakh resheniya zadachi Koshi dlya sistem obyknovennykh differentsialnykh uravneniy. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheskoy fiziki, 2(4), 515–528. [In Russian].
Saravana, A., Magesh, N., & Christopher, A. J. (2018). A new computational method for smooth solution of first order nonlinear Cauchy problem. International Journal of Advances in Mathematics, 5, 14–24.
Shakhov, Y. A. (1973). Solution of the Cauchy problem with a preassigned number of correct signs for an ordinary differential equation. Questions in computational mathematics. Proceedings of the Computer Center of the Academy of Sciences of the Georgian SSR, 12(1), 105–117. Tbilisi. [In Russian].
Shmigelskiy, Y. A. (2017). Numerical simulation of dynamic systems by rectangular methods. Computer simulation and software of information systems and technology: Materials of all Ukraine scientific conference, (pp. 86–88). Rivne: Nuwee.
Vaibhav, V. (2018). Higher order convergent fast nonlinear Fourier transform. IEEE Photonics Technol. Lett., 30(8), 700–703. https://doi.org/10.1109/LPT.2018. 2812808
Zaiats, V., & Zaiats, M. (2018). Numerical Methods of second order with minimal error of discretization and their application to the analysis of high-quality systems. Perspective Technologies and Methods in MEMS Design. MEMSTECH: Proceedings of 14th International Conference, (pp. 264–267). Polyana-Lviv.
Авторське право (c) 2018 http://creativecommons.org/licenses/by/4.0
Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License.
